Отговор: Назаем се пише слято в израза вземам назаем, тъй като е сложно наречие, образувано от предлог и съществително име, което не може да се променя граматически. Когато съчетанието от предлог и съществително име не образува смислова цялост с ново значение, двете думи се пишат разделно, напр.: Той има право на заем (т.е. има право да получи заем). В такива случаи съществителното може да се променя граматически: Зависи от датата на заема. Това е различно от: Даде ми колата си назаем (т.е. даде ми я по определен начин), пари назаем (т.е. пари, дадени/взети по определен начин).
Официален правописен речник (2012), т. 53.20.1.; с. 394.
[...]