Отговор: Правилно е думата рожден да се членува с кратък член: На 20 октомври, рождения ден на Иван, отидохме на разходка в парка. Членуваната дума рожден е определение към ден, а цялото съчетание рождения ден пояснява 20 октомври – това е обстоятелствено пояснение, а не подлог. Следователно е невъзможна замяната на цялото словосъчетание 20 октомври – рождения ден на Иван с той, затова думата рожден се членува с кратък член.
Официален правописен речник (2012), т. 17.6.2.2.
[...]