Отговор: В изречението Напът сме да провалим всичко напът се пише слято, защото е употребено като сложно наречие, в което съчетанието от предлога на и съществителното път образува смислова цялост с ново значение (срв.: Той е на път за работа).
Официален правописен речник (2012), т. 53.20.1 и 53.20.1.1; стр. 398.
[...]