Отговор: Думата наум се пише слято. Това е сложно наречие, образувано от предлога на и съществителното ум. Например: Четете наум, а не на глас. Но: Това не ми дойде на ум (и: Това не ми дойде на ума).
Официален правописен речник (2012), т. 53.19.
[...]