Отговор: Правилно е да се пише разделно: бързо развиващ се. Това е съчетание от наречието бързо и сегашното деятелно причастие развиващ се. Те не представляват смислово единство, срв. напр. развиващ се бързо град.
Официален правописен речник (2012), т. 53.17.1., т. 55.6.
[...]